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湖南省長沙市望城區第二中學2019-2020學年高二數學上學期第二次月考試題

次月考試題

注意事項:

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題(每小題5分共60分)

x

2

y

2

??1

的長軸長為( ) 1.橢圓

925

A.3 B.6 C.5 D.10

2.知集合

A?{x|x?4x}

,

B?{x|2?x?5}

,則

AUB?

( )

A.

(0,2)

B.

(2,4)

2

2

C.

(0,5)

D.

(4,5)

3.已知命題

p:?x?R,x?2x?1?0

,則有( )

A.

?p:?x?R,x?2x?1?0

B.

?p:?x?R,x?2x?1?0

C.

?p:?x?R,x

2

?2x?1?0

D.

?p:?x?R,x

2

?2x?1?0

4.已知

f

(

x

)=

x

+3+ln 3,則

f

′(

x

)為( )

1

2

x

2

x

2

x

3

x

A.3

x

+3 B.3

x

+3·ln 3+C.3

x

+3·ln 3 D.

x

+3·ln 3

3

5.已知

tan

?

?2

,則

A.

?

3

22

x

1

5

sin

?

?3cos

?

?

( )

2sin

?

?cos

?

15

B. C.

?

54

2

D.

5

4

x

6.函數

y?a

a?0

a?1

)與函數

y?

?

a?1

?

x?2x?1

在同一個坐標系內的圖象可

能是 ( )

A.B.C. D.

7.若圓

x?y?4

與圓

x?y?2ax?a?1?0

相內切,則

a

=( )

A.1 B.-1 C.

??

D.

?2

22222

8.若角

?

的終邊在直線

y?3x

上且

sin

?

?0

,又

P

?

m,n

?

?

終邊上一點,且

OP?10

,

m?n?

( )

A.2 B.-2 C.4 D.-4

9.已知

a?0

,且,函數

f

?

x

?

?log

a

?

6?ax

?

,則“

1?a?3

”是

f

?

x

?

?

1,2

?

上單調遞

減”的( )

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

10.設等比數列

{a

n

}

的前

n

項和為

S

n

,公比為

q

.若

S

6

?9S

3

,

S

5

?62

,則

a

1

?

( )

A.3 B.

5

C.

2

D.2

11.給出下列語句:①若α、β均為第一象限角,且α>β,且sinα>sinβ;

?

?

?

1

②若函數y=2cos

?

ax?

?

的最小正周期是4

?

,則a=;

3

?

2

?

③函數y=

sinx?

1

的周期是

?

;④函數y=sinx+sin

x

的值域是

?

0,2

?

。

2

其中敘述正確的語句個數為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

x

2

y

2

12.設雙曲線

E:

2

?

2

?1

?

a?0,b?0

?

的右焦點為

F

,過

F

且斜率為1的直線

l

E

ab

右支相交不同的兩點,則雙曲線的離心率

e

的取值范圍是( )

A.

1,2

第II卷(非選擇題)

二、填空題(每個小題5分共20分)

13.設向量

a

=(

??

B.

?

2,2

?

C.

?

1,2

?

D.

2,22

??

r

r

?

31

r

r

,sinθ),=(cosθ,),其中θ∈(0,),若則θ=______.過

a

b

,

b

23

2

14.點(1,2)且垂直于直線

2x+y-5=0

的直線的一般式方程為___________.

3

2

15.某物體作直線運動,其運動規律是

s

t

+(

t

的單位:s,

s

的單位:m),則它在第4 s

t

末的瞬時速度應該為________ m\/s.

16.已知直線

l:x?y?1?0

與拋物線交于A,B兩點,點P為拋物線C上一動點,

且在直線l下方,則△PAB的面積的最大值為.

三、解答題

17.(10分)設函數

f

?

x

?

?cos

?

2x?

?

?

?

?

2

?sinx

.(1) 求函數

f

?

x

?

的最大值和最小正周

?

3

?

期;(2) 設

A,B,C

VABC

的三個內角,若

cosB?,f

?

1

3

1

?

C

?

??

,求

sinA

?

34

??

18.(12分)如圖,在四棱錐

P?ABCD

中,底面

ABCD

是正方形,

PA?

平面

ABCD

,

PA?AD?2

,點

E

為線段

PD

的中點.

(1)求證:

PB\/\/

平面

ACE

;

(2)求二面角

P?AC?E

的余弦值.

{b

n

}

是等比數列,19.(12分)已知數列

{a

n

}

是等差數列,且

a

1

?11

,

b

1

?1

,

a

2

?b

2

?11

,

?

a

n

?

a

3

?b

3

?11

.(1)求數列

{a

n

}

{b

n

}

的通項公式;(2)求數列

??

的前

n

項和

S

n

?

b

n

?

20.(12分)設平面向量

a?(cosx,sinx),b?(cosx?23,sinx),c?(0,1),x?R

.

v

v

v

rr

(1)若

a?c

,求

cos2x

的值;

rrr

(2)若函數

f(x)?a?(b?2c)

,求函數f(x)的最大值,并求出相應的x值。

21.(12分)某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績,按成

績共分成五組:第1組

[75,80)

,第2組

[80,85)

,第3組

[85,90)

,第4組

[90,95)

,第5

[95,100]

,得到的頻率分布直方圖如圖所示,同時規定成績在85分以上(含85分)的學

生為“優秀”,成績小于85分的學生為“良好”,且只有成績為“優秀”的學生才能獲得

面試資格.

(1)求出第4組的頻率,并補全頻率分布直方圖;

(2)根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數;

(3)如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中選出5人,再從這5人中選2

人,那么至少有一人是“優秀”的概率是多少?

22.(12分)橢圓中心為坐標原點O,對稱軸為坐標軸,且過M(2,

2

) ,N(

6

,1)兩點,

(I)求橢圓的方程;

(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點A,B,且

uuuruuur

OA?OB

?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。

2019年下期望城二中高二第二次月考數學試卷答案

1.D 2.C 3.C 4.C.5.A 6.D 7.C8.A 9.A 10.D 11.A 12.A

13.

?

125

;14.

x?2y?3?0

;15. ;16.

42

4

16

解答題答案

17.(1)最大值為

(1)

1

1?3

,最小正周期

π

;(2)?!窘馕觥?/p>

3

2

?

?

??

1?cos2x13

?

f

?

x

?

?cos

?

2x?

?

?sin

2

x?cos2xcos?sin2xsin???sin2x

,

333222

??

2

?

?

函數

f

?

x

?

的最大值為

1?3

,最小正周期

T??

?

.

2

2

(2)

f

?

32C12C32C

??

?

C

?

1

,

??sin??,?sin?,??,?C?

?

3432332

?

3

?

22

1

.

3

?sinA?cosB?

18.1(略)(2)

6

3

n?1

19.(1)

a

n

??2n?13

,

b

n

?2

?

1

?

;(2)

S

n

?18?(2n?9)?

??

?

2

?

n?1

【解析】(1)設等差數列

{a

n

}

的公差為

d

,等比數列

{b

n

}

的公比為

q

,則

?

11?d?q?11

?

d??2

n?1

,解得

?

,

?a

n

??2n?13

,

b

n

?2

;

?

2

?

11?2d?q?11

?

q?2

a

?

1

?

(2)

Q

n

?(?2n?13)?

??

b

n

?

2

?

01

n?1

,

2n?2n?1

1

??

1

??

1

??

1

?

?

S

n

?11?

?

?9??7????(15?2n)?

????????

?

2

??

2

??

2

??

2

?

1

?

1

??

1

??

1

?

S

n

?11?

??

?9?

??

?

L

?(15?2n)?

??

2

?

2

??

2

??

2

?

12n?1

?

1

?

?(13?2n)?

??

?

2

?

n

?

1

?

?(13?2n)?

??

?

2

?

11

?

1

??

1

?

兩式作差可得:

S

n

?11?2[?

??

?

L

?

??

22

?

2

??

2

?

2n?1

?

1

?

]?(13?2n)?

??

?

2

?

n

1

?

1

?

[1?

??

2

?

2

?

?11?2?

1

1?

2

n?1

]

?

1

??

1

?

?(13?2n)?

??

?9?(2n?9)?

??

?

2

??

2

?

n?1

nn

1

?

?

S

n

?18?(2n?9)?

?

??

?

2

?

20.(1)1;(2)5【解析】(1)由題意知,向量

a?c

,即

a?c?0

,即

a?c?sinx?0

,

又由

cos2x?1?2sin

2

x?1

。

rrrrrr

rrr

?

fx?a?(b?2c)?1?23cosx?2sinx?4cos(x?)?1

, (2)因為

??

6

故當

x?

?

6

?2k

?

,k?Z

,即

x?2k

?

?

?

6

,k?Z

時,

f

?

x

?

有最大值,最大值是5.

21.(1)詳見解析; (2)87; (3)

9

.

10

【解析】(1)其它組的頻率和為(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8,

所以第四組的頻率為0.2, 頻率\/組距是0.04 ,補圖 頻率分布圖如圖:(略)

(2)設樣本的中位數為

x

,則

(3)依題意,良好的人數為

27

……… 5分 解得

.

, 所以樣本中位數的估計值為 87.

59

人,優秀的人數為人,抽取比例為

1\/8, 所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人,良好2人 , 所以 P=

2

5

84

x

2

y

2

22

22.(1)

??1

(2)

x?y?

,

[6,23]

33

84

(2)假設存在這樣的圓,設該圓的切線為

y?kx?m,

與橢圓聯立,得

由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質,結合已

(1?2k

2

)x

2

?4kmx?2m

2

?8?0,

知條件能求出

AB

的取值范圍.

?

42

??1

?

?

a

2

?8

x

2

y

2

?

a

2

b

2

?

?

2

?

?

【解析】(1)

?

?1

61

b?4

84

?

??1

?

22

?

?

ab

x

2

y

2

(2)假設存在這樣的圓,設該圓的切線為y=kx+m,與

??1

聯立消y得(1+2k

2

84

x+4kmx+2m﹣8=0

當△=16k

2

m

2

﹣4(1+2k

2

)(2m

2

﹣8)=8(8k

2

﹣m2+4)>0

22

?4m2m

2

?8

?x

1

?x

2

?,x

1

x

2

?

1?2k

2

1?2k

2

因為

OA?OB

,所以

uuuvuuuv

x

1

x

2

?y

1

y

2

?0?x

1

x

2

?

?

kx

1

?m

??

kx

2

?m

?

?0?1?k

2

x

1

x

2

?mk

?

x

1

?x

2

?

?m

2

?0

所以3m

2

﹣8k

2

﹣8=0,由△=16k

2

m

2

﹣4(1+2k

2

)(2m

2

﹣8)=8(8k

2

﹣m2+4)>0 得

△=16k

2

m

2

﹣4(1+2k

2

)(2m

2

﹣8)=8(8k

2

﹣m2+4)>0

代入化簡得

m?

2

??

8

3

m

2

m

2

8

r??r???

2

2

又y=kx+m與圓心在原點的圓相切,所以所求圓

3m?8

3

1+k

1?

8

x

2

?y

2

?

8

,直線AB斜率不存在時也滿足.

3

k?0

時,

??

324k?5k?1

?

?

4

?

32

?

1

2

6,23

AB?1?kx

2

?x

1

??1??

??

?

?

,

3

?

4k

2

?

1

?4

?

?

3

?

34k

4

?4k

2

?1

k

2

??

?

?

42

?

?

k?0

時,

AB?

?

4

?

46

6,23

?

,即

AB?

?

?

3

?

3

湖南省長沙市望城區第二中學2019-2020學年高二數學上學期第二

次月考試題

注意事項:

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題(每小題5分共60分)

x

2

y

2

??1

的長軸長為( ) 1.橢圓

925

A.3 B.6 C.5 D.10

2.知集合

A?{x|x?4x}

,

B?{x|2?x?5}

,則

AUB?

( )

A.

(0,2)

B.

(2,4)

2

2

C.

(0,5)

D.

(4,5)

3.已知命題

p:?x?R,x?2x?1?0

,則有( )

A.

?p:?x?R,x?2x?1?0

B.

?p:?x?R,x?2x?1?0

C.

?p:?x?R,x

2

?2x?1?0

D.

?p:?x?R,x

2

?2x?1?0

4.已知

f

(

x

)=

x

+3+ln 3,則

f

′(

x

)為( )

1

2

x

2

x

2

x

3

x

A.3

x

+3 B.3

x

+3·ln 3+C.3

x

+3·ln 3 D.

x

+3·ln 3

3

5.已知

tan

?

?2

,則

A.

?

3

22

x

1

5

sin

?

?3cos

?

?

( )

2sin

?

?cos

?

15

B. C.

?

54

2

D.

5

4

x

6.函數

y?a

a?0

a?1

)與函數

y?

?

a?1

?

x?2x?1

在同一個坐標系內的圖象可

能是 ( )

A.B.C. D.

7.若圓

x?y?4

與圓

x?y?2ax?a?1?0

相內切,則

a

=( )

A.1 B.-1 C.

??

D.

?2

22222

8.若角

?

的終邊在直線

y?3x

上且

sin

?

?0

,又

P

?

m,n

?

?

終邊上一點,且

OP?10

,

m?n?

( )

A.2 B.-2 C.4 D.-4

9.已知

a?0

,且,函數

f

?

x

?

?log

a

?

6?ax

?

,則“

1?a?3

”是

f

?

x

?

?

1,2

?

上單調遞

減”的( )

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

10.設等比數列

{a

n

}

的前

n

項和為

S

n

,公比為

q

.若

S

6

?9S

3

,

S

5

?62

,則

a

1

?

( )

A.3 B.

5

C.

2

D.2

11.給出下列語句:①若α、β均為第一象限角,且α>β,且sinα>sinβ;

?

?

?

1

②若函數y=2cos

?

ax?

?

的最小正周期是4

?

,則a=;

3

?

2

?

③函數y=

sinx?

1

的周期是

?

;④函數y=sinx+sin

x

的值域是

?

0,2

?

。

2

其中敘述正確的語句個數為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

x

2

y

2

12.設雙曲線

E:

2

?

2

?1

?

a?0,b?0

?

的右焦點為

F

,過

F

且斜率為1的直線

l

E

ab

右支相交不同的兩點,則雙曲線的離心率

e

的取值范圍是( )

A.

1,2

第II卷(非選擇題)

二、填空題(每個小題5分共20分)

13.設向量

a

=(

??

B.

?

2,2

?

C.

?

1,2

?

D.

2,22

??

r

r

?

31

r

r

,sinθ),=(cosθ,),其中θ∈(0,),若則θ=______.過

a

b

,

b

23

2

14.點(1,2)且垂直于直線

2x+y-5=0

的直線的一般式方程為___________.

3

2

15.某物體作直線運動,其運動規律是

s

t

+(

t

的單位:s,

s

的單位:m),則它在第4 s

t

末的瞬時速度應該為________ m\/s.

16.已知直線

l:x?y?1?0

與拋物線交于A,B兩點,點P為拋物線C上一動點,

且在直線l下方,則△PAB的面積的最大值為.

三、解答題

17.(10分)設函數

f

?

x

?

?cos

?

2x?

?

?

?

?

2

?sinx

.(1) 求函數

f

?

x

?

的最大值和最小正周

?

3

?

期;(2) 設

A,B,C

VABC

的三個內角,若

cosB?,f

?

1

3

1

?

C

?

??

,求

sinA

?

34

??

18.(12分)如圖,在四棱錐

P?ABCD

中,底面

ABCD

是正方形,

PA?

平面

ABCD

,

PA?AD?2

,點

E

為線段

PD

的中點.

(1)求證:

PB\/\/

平面

ACE

;

(2)求二面角

P?AC?E

的余弦值.

{b

n

}

是等比數列,19.(12分)已知數列

{a

n

}

是等差數列,且

a

1

?11

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1

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.(1)求數列

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的通項公式;(2)求數列

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n

項和

S

n

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