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江西省贛州市會昌中學2019-2020學年高二數學上學期第二次月考試題文

題 文

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有

一項是符合題目要求的)

1.在空間直角坐標系中,已知點

A

?

2,1,3

?

,

B

?

?4,3,0

?

,則

A

,

B

兩點間的距離是( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準,現選擇15名志愿者,對其身高和臂展進行測量(單

位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對應的

?

?1.16x?30.75

,以下結論中不正確散點圖,并求得其回歸方程為

y

的為( )

...

A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.15名志愿者身高和臂展成正相關關系

C.可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米

D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,

x

2

y

2

3.“

2?m?6

”是“方程

??1

表示的曲線為雙曲線”的( )條

m?26?m

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

4.數列

?

a

n

?

中,

a

1

??15

,且

a

n?1

?a

n

?2

,則當前

n

項和

S

n

最小時,

n

的值為( )

A.9 B.8 C.7 D.6

5.執行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為7,則框圖中①處可以填入( )

7

A.

S…21

B.

S…28

C.

S…36

D.

S…

6.七巧板是古代中國勞動人民的發明,到了明代基本定型.清陸以湉在《冷廬雜識》中寫道:

近又有七巧圖,其式五,其數七,其變化之式多至千余.如圖,在七巧板拼成的正方形內

任取一點,則該點取自圖中陰影部分的概率是( )

A.

113

3

B. C. D.

16816

8

7.下列選項中,說法正確的是( )

rr

rr

rrrr

A.若非零向量

a,b

滿足

a?b?a?b

,則

a

b

共線

B.命題“在

△ABC

中,若

A?

π

1

,則

sinA?

”的逆否命題為真命題

62

C.命題“

?x

?R,x

2

?x

?0

”的否定為“

?x?R,x

2

?x?0

D.設

?

a

n

?

是公比為

q

的等比數列,則“

q?1

”是“

?

a

n

?

為遞增數列”的充要條件

22

8.已知過點(1,-2)的直線

l

與圓

(x?1)?(y?2)?25

交于

A

,

B

兩點,則弦長

AB

的取

值范圍是( )

A.

?

4,10

?

B.

3,5

??

C.

?

8,10

?

D.

?

6,10

?

9.若某圓錐的主視圖是頂角為

120

o

的等腰三角形,若該圓錐的側面積等于

43

?

,則其母線

長為( )

A.

1

B.

2

C.

2

D.

22

x

2

y

2

10.已知橢圓

C

2

?

2

?1

?

a?b?0

?

的左右焦點分別為

F

1

,

F

2

,且

F

1

F

2

?8

,過左焦

ab

F

1

的直線

l

與橢圓

C

交于

P

,

Q

兩點,連接

PF

2

,

QF

2

,若三角形

PQF

2

的周長為

20

,

?QPF

2

?90?

,則三角形

PF

1

F

2

的面積為( )

A.

9

B.

18

C.

25

D.

50

11.如圖,幾何體

A

1

B

1

C

1

?ABC

是一個三棱臺,在

A

1

、

B

1

、

C

1

、

A

、

B

、

C6

個頂點中取

3

個點確定平面

?

,

?

I

平面

A

1

B

1

C

1

?m

,且

m\/\/AB

,則所取的這

3

個點可以是( )

A.

A

1

、

B

、

C

B.

A

1

、

B

、

C

1

C.

A

、

B

、

C

1

D.

A

、

B

1

、

C

1

x

2

y

2

12.已知點

F

為雙曲線

C

2

?

2

?1

a?0

,

b?0

)的右焦點,點

F

到漸近線的距

ab

離是點

F

到左頂點的距離的一半,則雙曲線

C

的離心率為( )

A.

2

55

B. C.

2

D.

2

33

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)

x

2

y

2

5

13.已知橢圓

2

?

2

?1(a?b?0)

的離心率為,橢圓上一點

P

到兩焦點距離之和為12,

ab

3

則橢圓的短軸長為__________.

14.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的

第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數的概率為 .

2

15.已知

a

n

?2n?

?

n

,若數列

?

a

n

?

是遞增數列,則實數

?

的取值范圍為 .

16.已知正方體

ABCD?A

1

B

1

C

1

D

1

的棱長為

a

,點

E

,

F

,

G

分別為棱

AB

,

AA

1

,

C

1

D

1

的中

點,下列結論中,正確結論的序號是___________.

①過

E,F,G

三點作正方體的截面,所得截面為正六邊形;

B

1

D

1

\/\/

平面

EFG

;

BD

1

?

平面

ACB

1

;

④異面直線

EF

BD

1

所成角的正切值為

⑤四面體

ACB

1

D

1

的體積等于

2

;

2

1

3

a

.

2

三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分) 命題

p

:函數

y?lg?x?4ax?3a

x

滿足

?

22

?

?

a?0

?

有意義;命題

q

:實

x?3

?0

.

x?2

(1)當

a?1

p?q

為真,求實數

x

的取值范圍;

(2)若

?p

?q

的充分條件,求實數

a

的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)如圖,直三棱柱

ABC?A

1

B

1

C

1

中,點

D

BC

上一點.

(1)點

D

BC

的中點,求證:

A

1

C\/\/

平面

AB

1

D

;

(2)若

AD?BC

,求證:平面

AB

1

D?

平面

BCC

1

B

1

.

19.(本小題滿分12分)2018年,教育部發文確定新高考改革正式啟動,湖南、廣東、湖北

等8省市開始實行新高考制度,從2018年下學期的高一年級學生開始實行.為了適應新

高考改革,某校組織了一次新高考質量測評,在成績統計分析中,高二某班的數學成績

的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據此解答如

下問題:

(1)求該班數學成績在

?

50,60

?

的頻率及全班人數;

(2)根據頻率分布直方圖估計該班這次測評的數學平均分;

(3)若規定

90

分及其以上為優秀,現從該班分數在

80

分及其以上的試卷中任取

2

份分析學

生得分情況,求在抽取的

2

份試卷中至少有

1

份優秀的概率.

20.(本小題滿分12分)已知

?ABC

是圓

O

O

為坐標原點)的內接三角形,其中

13

A(1,0),B(?,?)

,角

A,B,C

所對的邊分別是

a,b,c

.

22

(1)若點

C

的坐標是

(?,)

,求

cos?COB

的值;

(2)若點

C

在優弧

?

AB

上運動,求

?ABC

周長的取值范圍.

34

55

21.(本小題滿分12分)如圖,四棱錐

P?ABCD

的底面

ABCD

為矩形,側面

PAB?

底面

ABCD

AB?2BC

,

PA?PB

.

(1)證明:

PC?BD

;

(2)若

BC?2

,且四棱錐

P?ABCD

的體積為

162

,求點

C

到平面

PAD

的距離.

3

x

2

y

2

3

22.(本小題滿分12分)已知橢圓

C:

2

?

2

?1

?

a?b?0

?

的離心率為,焦距為

23

.

ab

2

(1)求

C

的方程;

(2)若斜率為

?

1

的直線

l

與橢圓

C

交于

P,Q

兩點(點

P,Q

均在第一象限),

O

為坐標原點,

2

證明:直線

OP,PQ,OQ

的斜率依次成等比數列.

文科數學試題參考答案

一、選擇題

CDCBC BADDA CB

二、填空題

13.8 14.

三、解答題

17.解:(1)由

?x

2

?4ax?3a

2

?0

x

2

?4ax?3a

2

?0

,又

a?0

,所以

5

15.

?

??6

16.①③④

8

a?x?3a

.

p

a?x?3a

,

a?0

;

a?1

,則

p

1?x?3

, ………………………2

x?3

?0

,解得

2?x?3

,即

q

2?x?3

. ………………………3分

x?2

?

1?x?3

,解得

?

x|2?x?3

?

,

?

2?x?3

p?q

為真,則

p

,

q

同時為真,即

?

∴實數

x

的取值范圍

?

2,3

?

. ………………………5分

(2)若

?p

?q

的充分條件,即

q

p

的充分條件,

?

2,3

?

?

a,3a

?

的子

集. ………………………7分

?

3a?3

所以

?

,解得

1?a?2

.實數

a

的取值范圍為

?

1,2

?

. ………………………10分

?

a?2

18.(1)如圖所示,連接

A

1

B

AB

1

于點

O

,則點

O

A

1

B

的中點,

QD

BC

的中點,

?AC

1

\/\/OD

, ………………………3分

QA

1

C?

平面

AB

1

D

,

OD?

平面

AB

1

D

,

?AC

1

\/\/

平面

AB

1

D

;…………………5分

(2)在直三棱柱

ABC?A

1

B

1

C

1

中,

BB

1

?

平面

ABC

, ……………………7分

QAD?

平面

ABC

,

?AD?BB

1

. ………………………9分

QAD?BC

,

BB

1

IBC?B

,

?AD?

平面

BCC

1

B

1

, ……………………11分

QAD?

平面

AB

1

D

,

?

平面

AB

1

D?

平面

BCC

1

B

1

. ………………………12分

19.(1)頻率為

0.08

,頻數=2,所以全班人數為

(2)估計平均分為:

2

?

25

. …………………2分

0.08

55?0.08?65?0.28?75?0.4?85?0.16?95?0.08?73.8

.…5分

(3)由已知得

?

80,100

?

的人數為:

(0.16?0.08)?25?

4?2?6

. …………6分

設分數在

?

80,90

?

的試卷為

A

,

B

,

C

,

D

,分數在

?

90,100

?

的試卷為

a

,

b

.

則從

6

份卷中任取

2

份,共有

15

個基本事件,分別是

AB

,

AC

,

AD

,

Aa

,

Ab

,

BC

,

BD

,

Ba

,

Bb

,

CD

,

Ca

,

Cb

,

Da

,

Db

,

ab

, ………………………9

其中至少有一份優秀的事件共有

9

個,分別是

Aa

,

Ab

,

Ba

,

Bb

,

Ca

,

Cb

,

Da

,

Db

,

ab

,

?

在抽取的

2

份試卷中至少有

1

份優秀的概率為

P?

93

?

. ……………………12分

155

uuur

uuur

34

13

20.(1)根據題意可得

OC?(?,)

,

OB?(?,?)

,

55

22

uuuruuur

uuuruuur

OC?OB3433?43

cos?COB?cosOC,OB?

uuu

?

ruuur

??

; …………………5分

10

OCOB

1010

(2)∵

?AOB?120?

,

AB?3

,∴

?ACB?60?

,

ab3

???2

, …………………7分

sinAsinBsin60?

a?b?2sinA?2sin

?

?

??

2

?

??

?A

?

?23sin

?

A?

?

, …………………10分

6

??

3

??

0?A?

2

?

,

3?a?b?23

,

3

23?a?b?c?33

. …………………12

21.(1)證明:取

AB

的中點

O

,連接

PO,OC

.為

PA?PB

,所以

PO?AB

,

O

AB

的中點,

又因為平面

PAB?

平面

ABCD

,且交線為

AB

,所以

PO?

平面

ABCD

,所以

PO?BD

,

…………………2

又因為

AB?2BC

,底面

ABCD

為矩形,所以

OBBC2

,且

?OBC?BCD

,

??

BCCD2

所以

?OCB:?BDC

,所以

?OCB??BDC

,則

?DBC??OCB??DBC??BDC?90

,即

BD?OC

, …………………4分

POIOC?O

,所以

BD?

平面

POC

,所以

PC?BD

; …………………5分

(2)因為

BC?2,AB?22

,所以四棱錐

P?ABCD

的體積

11162

,解得

OP?4

, ……………7分

V

P?ABCD

?gOPgS

ABCD

??OP?2?22?

333

因為平面

PAB?

平面

ABCD

,且交線為

AB,AD?AB

,所以

AD?

平面

PAB

,則

AD?PA

,

PA?4

2

?2?32

,故

S

?DPA

?

11

PA?AD??32?2?32

, ……………9分

22

設點

C

到平面

PAD

的距離為

d

,因為

V

P?ACD

?

182

, ……………10分

V

P?ABCD

?

23

所以

V

P?ACD

?V

C?DPA

?gdgS

?DPA

?

1

3

82

,

3

8

8

d?

解得,即點

C

到平面

PAD

的距離為. ……………12分

3

3

?

c3

a?2

?

?

2

,解得

{

22.

(1)由題意可得

?

a

, ……………2分

c?3

?

2c?23

?

x

2

b?a?c?1

,所以橢圓方程為

?y

2

?1

. ……………4分

4

222

(2)證明:設直線

l

的方程為

y??

1

x?m

,

P

?

x

1

,y

1

?

,

Q

?

x

2

,y

2

?

,

2

1

?

y??x?m

?

?

2

?

2

?

x

?y

2

?1

?

?

4

,消去

y

,得

x

2

?2mx?2

?

m

2

?1

?

?0

,則

??4m

2

?8

?

m

2

?1

?

?4

?

2?m

2

?

?0

,且

x

1

?x

2

?2m?0

,

x

1

x

2

?2

?

m

2

?1

?

?0

, ……………7分

1m

2

?1

?

1

??

1

?

1

2

y

1

y

2

?

?

?x

1

?m

??

?x

2

?m

?

?x

1

x

2

?m

?

x

1

?x

2

?

?m?

,

22422

????

11

x

1

x

2

?m

?

x

1

?x

2

?

?m

2

yy

1

2

?

12

?

4

??k

2

PQ

, ……………11分

x

1

x

2

x

1

x

2

4

k

OP

k

OQ

即直線

OP

,

PQ

,

OQ

的斜率依次成等比數列. ……………12分

江西省贛州市會昌中學2019-2020學年高二數學上學期第二次月考試

題 文

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有

一項是符合題目要求的)

1.在空間直角坐標系中,已知點

A

?

2,1,3

?

,

B

?

?4,3,0

?

,則

A

,

B

兩點間的距離是( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準,現選擇15名志愿者,對其身高和臂展進行測量(單

位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對應的

?

?1.16x?30.75

,以下結論中不正確散點圖,并求得其回歸方程為

y

的為( )

...

A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.15名志愿者身高和臂展成正相關關系

C.可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米

D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,

x

2

y

2

3.“

2?m?6

”是“方程

??1

表示的曲線為雙曲線”的( )條

m?26?m

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

4.數列

?

a

n

?

中,

a

1

??15

,且

a

n?1

?a

n

?2

,則當前

n

項和

S

n

最小時,

n

的值為( )

A.9 B.8 C.7 D.6

5.執行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為7,則框圖中①處可以填入( )

7

A.

S…21

B.

S…28

C.

S…36

D.

S…

6.七巧板是古代中國勞動人民的發明,到了明代基本定型.清陸以湉在《冷廬雜識》中寫道:

近又有七巧圖,其式五,其數七,其變化之式多至千余.如圖,在七巧板拼成的正方形內

任取一點,則該點取自圖中陰影部分的概率是( )

A.

113

3

B. C. D.

16816

8

7.下列選項中,說法正確的是( )

rr

rr

rrrr

A.若非零向量

a,b

滿足

a?b?a?b

,則

a

b

共線

B.命題“在

△ABC

中,若

A?

π

1

,則

sinA?

”的逆否命題為真命題

62

C.命題“

?x

?R,x

2

?x

?0

”的否定為“

?x?R,x

2

?x?0

D.設

?

a

n

?

是公比為

q

的等比數列,則“

q?1

”是“

?

a

n

?

為遞增數列”的充要條件

22

8.已知過點(1,-2)的直線

l

與圓

(x?1)?(y?2)?25

交于

A

,

B

兩點,則弦長

AB

的取

值范圍是( )

A.

?

4,10

?

B.

3,5

??

C.

?

8,10

?

D.

?

6,10

?

9.若某圓錐的主視圖是頂角為

120

o

的等腰三角形,若該圓錐的側面積等于

43

?

,則其母線

長為( )

A.

1

B.

2

C.

2

D.

22

x

2

y

2

10.已知橢圓

C

2

?

2

?1

?

a?b?0

?

的左右焦點分別為

F

1

,

F

2

,且

F

1

F

2

?8

,過左焦

ab

F

1

的直線

l

與橢圓

C

交于

P

,

Q

兩點,連接

PF

2

,

QF

2

,若三角形

PQF

2

的周長為

20

,

?QPF

2

?90?

,則三角形

PF

1

F

2

的面積為( )

A.

9

B.

18

C.

25

D.

50

11.如圖,幾何體

A

1

B

1

C

1

?ABC

是一個三棱臺,在

A

1

、

B

1

、

C

1

、

A

、

B

、

C6

個頂點中取

3

個點確定平面

?

,

?

I

平面

A

1

B

1

C

1

?m

,且

m\/\/AB

,則所取的這

3

個點可以是( )

A.

A

1

、

B

、

C

B.

A

1

、

B

、

C

1

C.

A

、

B

、

C

1

D.

A

、

B

1

、

C

1

x

2

y

2

12.已知點

F

為雙曲線

C

2

?

2

?1

a?0

,

b?0

)的右焦點,點

F

到漸近線的距

ab

離是點

F

到左頂點的距離的一半,則雙曲線

C

的離心率為( )

A.

2

55

B. C.

2

D.

2

33

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)

x

2

y

2

5

13.已知橢圓

2

?

2

?1(a?b?0)

的離心率為,橢圓上一點

P

到兩焦點距離之和為12,

ab

3

則橢圓的短軸長為__________.

14.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的

第一張卡片上的數不小于第二張卡片上的數的概率為 .

2

15.已知

a

n

?2n?

?

n

,若數列

?

a

n

?

是遞增數列,則實數

?

的取值范圍為 .

16.已知正方體

ABCD?A

1

B

1

C

1

D

1

的棱長為

a

,點

E

,

F

,

G

分別為棱

AB

,

AA

1

,

C

1

D

1

的中

點,下列結論中,正確結論的序號是___________.

①過

E,F,G

三點作正方體的截面,所得截面為正六邊形;

B

1

D

1

\/\/

平面

EFG

;

BD

1

?

平面

ACB

1

;

④異面直線

EF

BD

1

所成角的正切值為

⑤四面體

ACB

1

D

1

的體積等于

2

;

2

1

3

a

.

2

三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分) 命題

p

:函數

y?lg?x?4ax?3a

x

滿足

?

22

?

?

a?0

?

有意義;命題

q

:實

x?3

?0

.

x?2

(1)當

a?1

p?q

為真,求實數

x

的取值范圍;

(2)若

?p

?q

的充分條件,求實數

a

的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)如圖,直三棱柱

ABC?A

1

B

1

C

1

中,點

D

BC

上一點.

(1)點

D

BC

的中點,求證:

A

1

C\/\/

平面

AB

1

D

;

(2)若

AD?BC

,求證:平面

AB

1

D?

平面

BCC

1

B

1

.

19.(本小題滿分12分)2018年,教育部發文確定新高考改革正式啟動,湖南、廣東、湖北

等8省市開始實行新高考制度,從2018年下學期的高一年級學生開始實行.為了適應新

高考改革,某校組織了一次新高考質量測評,在成績統計分析中,高二某班的數學成績

的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據此解答如

下問題:

(1)求該班數學成績在

?

50,60

?

的頻率及全班人數;

(2)根據頻率分布直方圖估計該班這次測評的數學平均分;

(3)若規定

90

分及其以上為優秀,現從該班分數在

80

分及其以上的試卷中任取

2

份分析學

生得分情況,求在抽取的

2

份試卷中至少有

1

份優秀的概率.

20.(本小題滿分12分)已知

?ABC

是圓

O

O

為坐標原點)的內接三角形,其中

13

A(1,0),B(?,?)

,角

A,B,C

所對的邊分別是

a,b,c

.

22

(1)若點

C

的坐標是

(?,)

,求

cos?COB

的值;

(2)若點

C

在優弧

?

AB

上運動,求

?ABC

周長的取值范圍.

34

55

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